» » Правила и упражнения по алгебре 7 класс онлайн

Правила и упражнения по алгебре 7 класс онлайн

Дорофеев Г. В. Алгебра. 7 класс

Глава 3. Введение в алгебру

...............................................................
(10 уроков)

Примерное поурочное планирование
учебного материала

Пункт учебника Число уроков
3.1. Буквенная запись свойств действий над числами 1
3.2. Преобразование буквенных выражений 3
3.3. Раскрытие скобок 2
3.4. Приведение подобных слагаемых 3
Зачет № 3 1

 100    101    102    103    104    105    106    107    108    109  
110    111    112    113    114    115    116    117    118    119  
120    121    122    123    124    125    126    127    128    129  
130    131    132    133    134    135    136    137    138    139  
140    141    142    143    144    145    146    147    148    149  
150    151    152    153    154    155    156    157    158    159  
160    161    162    163    164    165    166    167    168    169  
170    171    172    173    174    175    176    177    178    179  
180    181    182    183    184    185    186    187    188    189  
190    191    192    193    194    195    196    197    198    199  

200

 200    201    202    203    204    205    206    207    208    209  
210    211    212    213    214    215    216    217    218    219  
220    221    222    223    224    225    226    227    228    229  
230    231    232    233    234    235    236    237    238    239  
240    241    242    243    244    245    246    247    248    249  
250    251    252    253    254    255    256    257    258    259  
260    261    262    263    264    265    266    267    268    269  
270    271    272    273    274    275    276    277    278    279  
280    281    282    283    284    285    286    287    288    289  
290    291    292    293    294    295    296    297    298    299  

6. Преобразуйте в многочлен:
(4х – 5у)2

7. Представьте выражение в виде квадрата двучлена:
4у2 — 12у + 9

8. Решите уравнение:
8у – (3у + 19) = -3(2у — 1)

9. Решите уравнение:
2 – 4х = 0

10. Решите систему уравнений:
{ x+2*y = 12
{ 2*x-3*y = -18

Задачи

3.2. Преобразование буквенных выражений

       Методический комментарий

      При изучении этого пункта учащиеся приступают к овладению основами буквенного исчисления. Напомним, что при работе по данной системе учебников в 5—6 классах этот вопрос не затрагивался. Излагаемый материал чрезвычайно важен. Здесь формируются элементарные базовые умения, без прочного овладения которыми невозможно дальнейшее изучение алгебры.
Основная теоретическая идея такова: в алгебре замена одного буквенного выражения другим, т. е. преобразование буквенного выражения, выполняется на основе специальных законов; такими алгебраическими законами теперь становятся хорошо известные учащимся свойства арифметических действий. Преобразуя выражение по этим правилам, мы получаем выражение, тождественно равное исходному. Это название подчеркивает, что при подстановке в эти выражения вместо букв любых конкретных чисел они принимают равные значения. В дальнейшем такие выражения предлагается называть просто равными; подчеркнем, что этот термин вполне «законен» — эти выражения алгебраически равны. И при этом употребляемая терминология становится проще. Для учителя заметим, что если свойства арифметических действий формулируются с «кванторной приставкой» (например, для любых чисел а и bа + b = b + а), то законы алгебры этого не требуют.
Материал пункта разбивается на два основных логических фрагмента, связанных с преобразованием сумм и произведений. В каждом из них вводятся новые понятия и термины, разъясняются приемы преобразований и принятые способы записи выражений (т. е. некоторые правила математического синтаксиса). Обобщенные законы преобразования сумм и произведений, заключенные на страницах учебника в рамки, знакомы ученикам с 5 класса. Теперь при выполнении упражнений их следует многократно проговаривать. Первичное закрепление приемов преобразования сумм и произведений на основе указанных законов рекомендуем проводить на таких простых выражениях, как а + с + 8, х + 6 + у + 4, (а + с) + (b + 10), хуz, а · 3 · с и т. д.
На усвоение нового для учащихся понятия алгебраической суммы направлены упражнения 252—255. Изменение порядка слагаемых в алгебраической сумме представляет для учащихся некоторую трудность, поэтому мы рекомендуем обратить внимание на образное выражение, использованное в учебнике: «В алгебраической сумме слагаемые «путешествуют» вместе со своими знаками». Его можно взять на вооружение в качестве неформального правила при выполнении заданий типа 256 и 257.
Выработке навыка упрощения алгебраических сумм способствуют такие упражнения, как 258—262. Обратите прежде всего внимание на упражнения 258—260; их назначение — обучить замене суммы одинаковых слагаемых произведением. Перед выполнением заданий 261 и 262 нужно разобрать пример 1 из учебника; при этом акцент нужно сделать на краткую запись, сопровождающуюся устными пояснениями.
На выработку навыков преобразования произведений направлены упражнения 263—268; соответствующие образцы даны в примерах 2 и 3 учебника. Следует сделать акцент на двух моментах, а именно на правилах записи коэффициента произведения (см. комментарий к примеру 2), а также на целесообразности начинать преобразование с определения знака результата.
Отдельную группу составляют упражнения на сокращение дробей (задания 269—271), а также упражнение  272. Этот вид заданий систематически включается в систему упражнений в разных темах курса, что способствует постепенному формированию навыка. Однако надо помнить, что систематическое изучение алгебраических дробей отнесено к 8 классу.
Раздел Б начинается с упражнения 273. Здесь предлагаются некоторые новые идеи. В заданиях 273—276 преобразования выступают как средство для ответа на поставленный вопрос. В упражнении 277 предлагается выполнить более сложные в техническом отношении преобразования. Нужно помнить, что при работе со степенями учащиеся пока должны опираться только на определения степени (образец рассуждений см. в упражнении 272). Это полезная содержательная работа, облегчающая этап овладения формальным аппаратом преобразования выражений, содержащих степени. Цель упражнений 279—280  — постепенное «внедрение» в сознание учащихся идеи подстановки.
В классах с невысоким уровнем подготовки рекомендуем выполнить задания 252—268, 269 (а—д), 270, 271 (а—в, е, з), 272 (а, б), 273, 276 (а), 279, 280.

      Комментарий к упражнениям

      255. Немного усложненный вариант предыдущего упражнения.
ж) a − с − (−b) − (−d) = a − c + (+b) + (+d) = a − c + b + d;
з) a − (−x) + (−y) − (−c) = a + (+x) + (−y) + (+c) = a + x − y + c.
259. Вспомнить, как сумму одинаковых слагаемых можно записать в виде произведения. Например, 3 + 3 + 3 + 3 = 3 · 4. Точно так же x + x = x · 2 = 2x, a + a + a = a · 3 = 3a. Затем перейти к отысканию периметров данных фигур.
262. Образец подробного рассуждения дан в примере 1. Его надо разобрать перед выполнением упражнения. Здесь уже можно ограничиться краткой записью решения.
263. Сначала разобрать пример 2.
В упражнениях 266—267 сначала следует решить вопрос о знаке (см. пример 3).
266. з) 4c · (−2c) · (−b) · (−b) = −4c · 2c · b · b = −8b2c2.
269—271. Прежде чем выполнять задания такого типа, рекомендуем рассмотреть числовой пример.
269. а) Сократим сначала дробь 4375711. Имеем 4375711=43511. Заменив некоторые числа в этой дроби буквами, получим 4xy5yz. Сократим эту дробь: 4xy5yz=4x5z.
е) 25235=25535=253. Аналогично получаем: 2x23x=2xx3x=2x3.
270. Число, противоположное дроби 23, можно записать так: 23=23=23.
271. г) Умножим вначале числитель и знаменатель дроби на −1: 3a6a2=3a6a2=12a;
д) 5ab210ab=5abb102ab=b2.
273. Выражение сначала нужно упростить. Например, k + k + k + k + k = 5k — это произведение двух нечетных чисел 5 и k; оно не делится на 2;
k + k + k + k + 10 = 4k + 10 — каждое слагаемое этой суммы делится на 2, значит, и сумма делится на 2.
275. Имеем n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) + (n + 5) + (n + 6) + (n + 7) + (n + 8) + (n + 9) + (n + 10) + (n + 11) + (n + 12) + (n + 13) + (n + 14) = 15n + (1 + 2 + ... + 13 + 14).
Сумму чисел от 1 до 14 можно найти непосредственно сложением или уже известным учащимся «методом Гаусса».
Ответ: 15n + 105.
277—281. При преобразовании выражений, содержащих степени, учащиеся пользуются только определением степени, так как свойства степени пока не рассматриваются. Поэтому степень каждый раз надо записывать в виде произведения.
277. в) a(−ac)2 = a(−ac)(−ac) = aacac = a3c2;
д) −z(−x2)(−xz) = zxxxz = x3z2.
280. 2 · (−y) = −2y; 2(−y)2 = 2 · (−y) · (−y) = 2y2,
2(−y)3 = 2 · (−y) · (−y) · (−y) = −2 · y · y · y = −2y3,
(−y)2 + 2(−y)3 = (−y) · (−y) + 2 · (−y) · (−y) · (−y) = y · y + (−2 · y · y · y) = y2 − 2y3.
281. Учащиеся предложат разные ответы. Нужно подчеркнуть, что это равные выражения, так как каждое из них указывает способ нахождения площади одной и той же фигуры. Доказывать равенство этих выражений путем преобразований не следует.

600

 600    601    602    603    604    605    606    607    608    609  
610    611    612    613    614    615    616    617    618    619  
620    621    622    623    624    625    626    627    628    629  
630    631    632    633    634    635    636    637    638    639  
640    641    642    643    644    645    646    647    648    649  
650    651    652    653    654    655    656    657    658    659  
660    661    662    663    664    665    666    667    668    669  
670    671    672    673    674    675    676    677    678    679  
680    681    682    683    684    685    686    687    688    689  
690    691    692    693    694    695    696    697    698    699  

700

Загадка №2
Позавчера Васе было 17 лет. В следующем году ему будет 20 лет. Как такое может быть?

Загадка №3
Два отца и два сына разделили между собой 3 апельсина так, что каждому досталось по одному апельсину. Как это могло получиться?

Загадка №4
На острове живут два племени: молодцы. Которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путешественник встретил островитянина, спросил его, кто он такой, и когда услышал, что он из племени молодцов, нанял его в проводники. Они пошли и увидели вдали другого островитянина, и путешественник послал своего проводника спросить его, к какому племени он принадлежит. Проводник вернулся и сказал, что тот утверждает, что он из племени молодцов. Спрашивается: был проводник молодцом или лгуном?

Загадка №5
В двух футбольных лигах в сумме 39 команд. Команда играет с каждой командой из своей лиги по одному разу; при этом никаких матчей между лигами не происходит. За победу полагается 3 очка, за ничью — 1 очко, за проигрыш — 0. В прошлом году в одной лиге состоялось на 171 матч больше, чем в другой. Команда «Чемпионы», входящая в одну из лиг, проиграла всего три матча и набрала 32 очка.
Вопрос: со сколькими командами играли «Чемпионы» и сколько раз они сыграли вничью?

Ответы к уравнениям

Уравнение № 1 № 2 № 3 № 4 № 5
Ответ a = 3 z = 2
x = 3
x = — 15¹/₃ x = 0,4 y = -3

3.4. Приведение подобных слагаемых

      Методический комментарий

      Основная цель, которая должна быть достигнута при изучении материала этого пункта, — научить учащихся выполнять приведение подобных слагаемых с помощью сформулированного в учебнике правила. Назначение развернутого решения со ссылкой на распределительное свойство (пример 1 из учебника) состоит в том, чтобы осознанно прийти к указанному правилу. Поэтому практиковать развернутое решение не следует, достаточно разобрать один-два таких примера, а далее нужно использовать сформулированное правило.
Часть упражнений к пункту сочетают два важнейших умения: раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых (упражнения 313—315). Такие комплексные задания включены и в «Задания для самопроверки к главе 3» (см. задание 5).
В классах с невысоким уровнем подготовки, кроме упражнений из раздела А, рекомендуем разобрать еще и задание 321.

       Комментарий к упражнениям

1000

1000   1001   1002   1003   1004   1005   1006   1007   1008   1009  
1010   1011   1012   1013   1014   1015   1016   1017   1018   1019  
1020   1021   1022   1023   1024   1025   1026   1027   1028   1029  
1030   1031   1032   1033   1034   1035   1036   1037   1038   1039  
1040   1041   1042   1043   1044   1045   1046   1047   1048   1049  
1050   1051   1052   1053   1054   1055   1056   1057   1058   1059  
1060   1061   1062   1063   1064   1065   1066   1067   1068   1069  
1070   1071   1072   1073   1074   1075   1076   1077   1078   1079  
1080   1081   1082   1083   1084   1085   1086   1087   1088   1089  
1090   1091   1092   1093   1094   1095   1096   1097   1098   1099  

Задача 10
37,5 км/ч

Ответы на загадки

Загадка 1
5050

Загадка 2
Если нынешний день 1 января, а у Васи день Рождения тридцать первого декабря. Позавчера, т.е. тридцатого декабря ему было еще семнадцать лет. Вчера, т.е. тридцать первого декабря исполнилось восемнадцать лет. В этом году исполнится девятнадцать лет, а в следующем году двадцать лет.

Загадка 3
Всего деливших было трое: дед, его сын и внук

      341. б) Представим число, записанное четырьмя одинаковыми цифрами, в виде суммы разрядных слагаемых: a · 1000 + a · 100 + a · 10 + a · 1, где a — натуральное число.
Выполнив преобразования, получим произведение 1111 · а, или иначе 11 · 101 · а.
Отсюда ясно, что данное число делится и на 11, и на 101.
342. а) Имеем последовательность чисел:
a, b, a + b, a + 2b, 2a + 3b, 3a + 5b, ... .
Сумма шести последовательных чисел делится на 4, так как она равна 8a + 12b, а каждое слагаемое получившейся суммы делится на 4.
б) Прибавим к сумме, полученной выше, числа 5a + 8b и 8a + 13b. Получим сумму 21a + 33b, каждое слагаемое которой делится на 3, значит, сумма любых восьми последовательных чисел в последовательности Фибоначчи делится на 3.
343. б) a(b+1)c(a+b)+b(c+1)(a+b)=
=ab+acacb+bc+bab=abca.
344. По основному свойству пропорции из равенства ab=cd
следует, что ad = bc.
Проверим, удовлетворяет ли основному свойству пропорции равенство a+bb=c+dd. Для этого сравним произведения (a + b)d и b(c + d), т. е. суммы ad + bd и bc + bd. Так как ad = bc, то ad + bd = bc + bd и (a + b)d = b(c + d).
345. Автобусу осталось пройти

200(x+(x20)+1,5(x20))км.
Преобразовав выражение, получим 250 − 3,5х км.
346. Длина всего провода составит

x+3x+(x+1,5)+0,5xм,
т. е. 5,5х + 1,5 м.
347. В коробке стало

2(2(2n12)12)12пуговиц,
т. е. 8n − 84 пуговиц.

Наверх